二分查找详解

二分查找真的很简单吗?并不简单。看看 Knuth 大佬(发明 KMP 算法的那位)怎么说的:

Although the basic idea of binary search is comparatively straightforward, the details can be surprisingly tricky…

这句话可以这样理解:思路很简单,细节是魔鬼。

本文就来探究几个最常用的二分查找场景:寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界。而且,我们就是要深入细节,比如不等号是否应该带等号,mid 是否应该加一等等。分析这些细节的差异以及出现这些差异的原因,保证你能灵活准确地写出正确的二分查找算法。

零、二分查找框架

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int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = ...;

while(...) {
int mid = (right + left) / 2;
if (nums[mid] == target) {
...
} else if (nums[mid] < target) {
left = ...
} else if (nums[mid] > target) {
right = ...
}
}
return ...;
}

分析二分查找的一个技巧是:不要出现 else,而是把所有情况用 else if 写清楚,这样可以清楚地展现所有细节。本文都会使用 else if,旨在讲清楚,读者理解后可自行简化。

其中 ... 标记的部分,就是可能出现细节问题的地方,当你见到一个二分查找的代码时,首先注意这几个地方。后文用实例分析这些地方能有什么样的变化。

另外声明一下,计算 mid 时需要技巧防止溢出,可以「参见前文」,本文暂时忽略这个问题。

### 一、寻找一个数(基本的二分搜索)

这个场景是最简单的,肯能也是大家最熟悉的,即搜索一个数,如果存在,返回其索引,否则返回 -1。

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int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.length - 1; // 注意

while(left <= right) { // 注意
int mid = (right + left) / 2;
if(nums[mid] == target)
return mid;
else if (nums[mid] < target)
left = mid + 1; // 注意
else if (nums[mid] > target)
right = mid - 1; // 注意
}
return -1;
}
  1. 为什么 while 循环的条件中是 <=,而不是 < ?

答:因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1,即最后一个元素的索引,而不是 nums.length。

这二者可能出现在不同功能的二分查找中,区别是:前者相当于两端都闭区间 [left, right],后者相当于左闭右开区间 [left, right),因为索引大小为 nums.length 是越界的。

我们这个算法中使用的是前者 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间

什么时候应该停止搜索呢?当然,找到了目标值的时候可以终止:

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if(nums[mid] == target)
return mid;

但如果没找到,就需要 while 循环终止,然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止?搜索区间为空的时候应该终止,意味着你没得找了,就等于没找到嘛。

while(left <= right) 的终止条件是 left == right + 1,写成区间的形式就是 [right + 1, right],或者带个具体的数字进去 [3, 2],可见这时候区间为空,因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的,直接返回 -1 即可。

while(left < right) 的终止条件是 left == right,写成区间的形式就是 [left, right],或者带个具体的数字进去 [2, 2],这时候区间非空,还有一个数 2,但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2] 被漏掉了,索引 2 没有被搜索,如果这时候直接返回 -1 就是错误的。

当然,如果你非要用 while(left < right) 也可以,我们已经知道了出错的原因,就打个补丁好了:

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//...
while(left < right) {
// ...
}
return nums[left] == target ? left : -1;
  1. 为什么 left = mid + 1,right = mid - 1?我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid,没有这些加加减减,到底怎么回事,怎么判断?

答:这也是二分查找的一个难点,不过只要你能理解前面的内容,就能够很容易判断。

刚才明确了「搜索区间」这个概念,而且本算法的搜索区间是两端都闭的,即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时,如何确定下一步的搜索区间呢?

当然是 [left, mid - 1] 或者 [mid + 1, right] 对不对?因为 mid 已经搜索过,应该从搜索区间中去除。

  1. 此算法有什么缺陷?

答:至此,你应该已经掌握了该算法的所有细节,以及这样处理的原因。但是,这个算法存在局限性。

比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3],target = 2,此算法返回的索引是 2,没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界,即索引 1,或者我想得到 target 的右侧边界,即索引 3,这样的话此算法是无法处理的。

这样的需求很常见。你也许会说,找到一个 target,然后向左或向右线性搜索不行吗?可以,但是不好,因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。

我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法。

二、寻找左侧边界的二分搜索

直接看代码,其中的标记是需要注意的细节:

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int left_bound(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0;
int right = nums.length; // 注意

while (left < right) { // 注意
int mid = (left + right) / 2;
if (nums[mid] == target) {
right = mid;
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid; // 注意
}
}
return left;
}
  1. 为什么 while(left < right) 而不是 <= ?

答:用相同的方法分析,因为 right = nums.length 而不是 nums.length - 1 。因此每次循环的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开。

while(left < right) 终止的条件是 left == right,此时搜索区间 [left, left) 为空,所以可以正确终止。

  1. 为什么没有返回 -1 的操作?如果 nums 中不存在 target 这个值,怎么办?

答:因为要一步一步来,先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义:

binarySearch

对于这个数组,算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读:nums 中小于 2 的元素有 1 个。

比如对于有序数组 nums = [2,3,5,7], target = 1,算法会返回 0,含义是:nums 中小于 1 的元素有 0 个。

再比如说 nums 不变,target = 8,算法会返回 4,含义是:nums 中小于 8 的元素有 4 个。

综上可以看出,函数的返回值(即 left 变量的值)取值区间是闭区间 [0, nums.length],所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1:

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while (left < right) {
//...
}
// target 比所有数都大
if (left == nums.length) return -1;
// 类似之前算法的处理方式
return nums[left] == target ? left : -1;
  1. 为什么 left = mid + 1,right = mid ?和之前的算法不一样?

答:这个很好解释,因为我们的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开,所以当 nums[mid] 被检测之后,下一步的搜索区间应该去掉 mid 分割成两个区间,即 [left, mid) 或 [mid + 1, right)。

  1. 为什么该算法能够搜索左侧边界?

答:关键在于对于 nums[mid] == target 这种情况的处理:

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if (nums[mid] == target)
right = mid;

可见,找到 target 时不要立即返回,而是缩小「搜索区间」的上界 right,在区间 [left, mid) 中继续搜索,即不断向左收缩,达到锁定左侧边界的目的。

  1. 为什么返回 left 而不是 right?

答:都是一样的,因为 while 终止的条件是 left == right。

三、寻找右侧边界的二分查找

寻找右侧边界和寻找左侧边界的代码差不多,只有两处不同,已标注:

「标记代码图片」

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int right_bound(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0, right = nums.length;

while (left < right) {
int mid = (left + right) / 2;
if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1; // 注意
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid;
}
}
return left - 1; // 注意
}

  1. 为什么这个算法能够找到右侧边界?

答:类似地,关键点还是这里:

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if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1;

当 nums[mid] == target 时,不要立即返回,而是增大「搜索区间」的下界 left,使得区间不断向右收缩,达到锁定右侧边界的目的。

  1. 为什么最后返回 left - 1 而不像左侧边界的函数,返回 left?而且我觉得这里既然是搜索右侧边界,应该返回 right 才对。

答:首先,while 循环的终止条件是 left == right,所以 left 和 right 是一样的,你非要体现右侧的特点,返回 right - 1 好了。

至于为什么要减一,这是搜索右侧边界的一个特殊点,关键在这个条件判断:

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if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1;
// 这样想: mid = left - 1

binarySearch

因为我们对 left 的更新必须是 left = mid + 1,就是说 while 循环结束时,nums[left] 一定不等于 target 了,而 nums[left-1] 可能是 target。

至于为什么 left 的更新必须是 left = mid + 1,同左侧边界搜索,就不再赘述。

  1. 为什么没有返回 -1 的操作?如果 nums 中不存在 target 这个值,怎么办?

答:类似之前的左侧边界搜索,因为 while 的终止条件是 left == right,就是说 left 的取值范围是 [0, nums.length],所以可以添加两行代码,正确地返回 -1:

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while (left < right) {
// ...
}
if (left == 0) return -1;
return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;

四、最后总结

来梳理一下这些细节差异的因果逻辑:

第一个,最基本的二分查找算法:

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因为我们初始化 right = nums.length - 1
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
所以决定了 while (left <= right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1

因为我们只需找到一个 target 的索引即可
所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回

第二个,寻找左侧边界的二分查找:

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因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid

因为我们需找到 target 的最左侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧右侧边界以锁定左侧边界

第三个,寻找右侧边界的二分查找:

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因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid

因为我们需找到 target 的最右侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧左侧边界以锁定右侧边界

又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
所以最后无论返回 left 还是 right,必须减一

如果以上内容你都能理解,那么恭喜你,二分查找算法的细节不过如此。

通过本文,你学会了:

  1. 分析二分查找代码时,不要出现 else,全部展开成 else if 方便理解。

  2. 注意「搜索区间」和 while 的终止条件,如果存在漏掉的元素,记得在最后检查。

  3. 如需要搜索左右边界,只要在 nums[mid] == target 时做修改即可。搜索右侧时需要减一。

就算遇到其他的二分查找变形,运用这几点技巧,也能保证你写出正确的代码。LeetCode Explore 中有二分查找的专项练习,其中提供了三种不同的代码模板,现在你再去看看,很容易就知道这几个模板的实现原理了。

本文终。还有更多算法文章,关注我的公众号 labuladong,一起学算法吧~

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